حل {l}{0.4x+0.3y=0.7}{11x-10y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 0.7 } \\ { 11 x - 10 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0.4x+0.3y=0.7$$

اطرح \frac{3y}{10} من طرفي المعادلة.

$$0.4x=-0.3y+0.7$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.4، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=2.5\left(-0.3y+0.7\right)$$

اضرب 2.5 في \frac{-3y+7}{10}.

$$x=-0.75y+1.75$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+7}{4} في المعادلة الأخرى، 11x-10y=1.

$$11\left(-0.75y+1.75\right)-10y=1$$

اضرب 11 في \frac{-3y+7}{4}.

$$-8.25y+19.25-10y=1$$

اجمع -\frac{33y}{4} مع -10y.

$$-18.25y+19.25=1$$

اطرح 19.25 من طرفي المعادلة.

$$-18.25y=-18.25$$

اقسم طرفي المعادلة على -18.25، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-0.75y+1.75. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

اجمع 1.75 مع -0.75 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}&-\frac{0.3}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}\\-\frac{11}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}&\frac{0.4}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{73}&\frac{3}{73}\\\frac{110}{73}&-\frac{4}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{73}\times 0.7+\frac{3}{73}\\\frac{110}{73}\times 0.7-\frac{4}{73}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

لجعل \frac{2x}{5} و11x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 11 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0.4.

$$11\times 0.4x+11\times 0.3y=11\times 0.7,0.4\times 11x+0.4\left(-10\right)y=0.4$$

تبسيط.

$$4.4x+3.3y=7.7,4.4x-4y=0.4$$

اطرح 4.4x-4y=0.4 من 4.4x+3.3y=7.7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4.4x-4.4x+3.3y+4y=7.7-0.4$$

اجمع \frac{22x}{5} مع -\frac{22x}{5}. حذف الحدين \frac{22x}{5} و-\frac{22x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3.3y+4y=7.7-0.4$$

اجمع \frac{33y}{10} مع 4y.

$$7.3y=7.7-0.4$$

اجمع 7.7 مع -0.4 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$7.3y=7.3$$

اقسم طرفي المعادلة على 7.3، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 11x-10y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$11x-10=1$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$11x=11$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$