حل {l}{-x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$y = \frac{29}{15} = 1\frac{14}{15} \approx 1.933333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x+5y=15$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$-x=-5y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(-5y+15\right)$$

اضرب -1 في -5y+15.

$$x=5y-15$$

عوّض عن x بالقيمة -15+5y في المعادلة الأخرى، 4x+10y=-2.

$$4\left(5y-15\right)+10y=-2$$

اضرب 4 في -15+5y.

$$20y-60+10y=-2$$

اجمع 20y مع 10y.

$$30y-60=-2$$

أضف 60 إلى طرفي المعادلة.

$$30y=58$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$y=\frac{29}{15}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{29}{15} في x=5y-15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=5\times \frac{29}{15}-15$$

اضرب 5 في \frac{29}{15}.

$$x=\frac{29}{3}-15$$

اجمع -15 مع \frac{29}{3}.

$$x=-\frac{16}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-10-5\times 4}&-\frac{5}{-10-5\times 4}\\-\frac{4}{-10-5\times 4}&-\frac{1}{-10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{30}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{3}\\\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

لجعل -x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$4\left(-1\right)x+4\times 5y=4\times 15,-4x-10y=-\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$-4x+20y=60,-4x-10y=2$$

اطرح -4x-10y=2 من -4x+20y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x+20y+10y=60-2$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y+10y=60-2$$

اجمع 20y مع 10y.

$$30y=60-2$$

اجمع 60 مع -2.

$$30y=58$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$y=\frac{29}{15}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{29}{15} في 4x+10y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+10\times \frac{29}{15}=-2$$

اضرب 10 في \frac{29}{15}.

$$4x+\frac{58}{3}=-2$$

اطرح \frac{58}{3} من طرفي المعادلة.

$$4x=-\frac{64}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-\frac{16}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$