حل {l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x+5y=1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$-x=-5y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

اضرب -1 في -5y+1.

$$x=5y-1$$

عوّض عن x بالقيمة 5y-1 في المعادلة الأخرى، -2x-5y=11.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

اضرب -2 في 5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

اجمع -10y مع -5y.

$$-15y+2=11$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-15y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{5} في x=5y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

اضرب 5 في -\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

اجمع -1 مع -3.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

لجعل -x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

تبسيط.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

اطرح 2x+5y=-11 من 2x-10y=-2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y-5y=-2+11$$

اجمع -10y مع -5y.

$$-15y=-2+11$$

اجمع -2 مع 11.

$$-15y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{5} في -2x-5y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

اضرب -5 في -\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-2x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$