حل {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-7x-4y=62$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$-7x=4y+62$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

اضرب -\frac{1}{7} في 4y+62.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y-62}{7} في المعادلة الأخرى، 3x+y=-2.

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

اضرب 3 في \frac{-4y-62}{7}.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

اجمع -\frac{12y}{7} مع y.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

أضف \frac{186}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{172}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{172}{5} في x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

اضرب -\frac{4}{7} في -\frac{172}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

اجمع -\frac{62}{7} مع \frac{688}{35} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{54}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

لجعل -7x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -7.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

اطرح -21x-7y=14 من -21x-12y=186 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

اجمع -21x مع 21x. حذف الحدين -21x و21x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y+7y=186-14$$

اجمع -12y مع 7y.

$$-5y=186-14$$

اجمع 186 مع -14.

$$-5y=172$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-\frac{172}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{172}{5} في 3x+y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

أضف \frac{172}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{162}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{54}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$