حل {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=3$$

$$b=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$-2a-b+8=0$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-2a-b=-8$$

أضف b إلى طرفي المعادلة.

$$-2a=b-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

عوّض عن a بالقيمة -\frac{b}{2}+4 في المعادلة الأخرى، a-2b+1=0.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

اجمع -\frac{b}{2} مع -2b.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

اجمع 4 مع 1.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=2$$

عوّض عن b بالقيمة 2 في a=-\frac{1}{2}b+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

اضرب -\frac{1}{2} في 2.

$$a=-1+4$$

اجمع 4 مع -1.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=3,b=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

لجعل -2a وa متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

تبسيط.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

اطرح -2a+4b-2=0 من -2a-b+8=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

اجمع -2a مع 2a. حذف الحدين -2a و2a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-b-4b+8+2=0$$

اجمع -b مع -4b.

$$-5b+8+2=0$$

اجمع 8 مع 2.

$$-5b+10=0$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$-5b=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$b=2$$

عوّض عن b بالقيمة 2 في a-2b+1=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a-2\times 2+1=0$$

اضرب -2 في 2.

$$a-4+1=0$$

اجمع -4 مع 1.

$$a-3=0$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=2$$