حل {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

اجمع -2y مع -5y لتحصل على -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

اطرح 10x من الطرفين.

$$2x-7y-10x=-10$$

اجمع 2x مع -10x لتحصل على -8x.

$$-8x-7y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+2.

$$2x+3y+6=6$$

اطرح 6 من الطرفين.

$$2x+3y=6-6$$

اطرح 6 من 6 لتحصل على 0.

$$2x+3y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-8x-7y=-10$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$-8x=7y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

اضرب -\frac{1}{8} في 7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} في المعادلة الأخرى، 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

اضرب 2 في -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

اجمع -\frac{7y}{4} مع 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

اضرب -\frac{7}{8} في -2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

اجمع \frac{5}{4} مع \frac{7}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

اجمع -2y مع -5y لتحصل على -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

اطرح 10x من الطرفين.

$$2x-7y-10x=-10$$

اجمع 2x مع -10x لتحصل على -8x.

$$-8x-7y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+2.

$$2x+3y+6=6$$

اطرح 6 من الطرفين.

$$2x+3y=6-6$$

اطرح 6 من 6 لتحصل على 0.

$$2x+3y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

اجمع -2y مع -5y لتحصل على -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

اطرح 10x من الطرفين.

$$2x-7y-10x=-10$$

اجمع 2x مع -10x لتحصل على -8x.

$$-8x-7y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+2.

$$2x+3y+6=6$$

اطرح 6 من الطرفين.

$$2x+3y=6-6$$

اطرح 6 من 6 لتحصل على 0.

$$2x+3y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

لجعل -8x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -8.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

تبسيط.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

اطرح -16x-24y=0 من -16x-14y=-20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

اجمع -16x مع 16x. حذف الحدين -16x و16x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-14y+24y=-20$$

اجمع -14y مع 24y.

$$10y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 2x+3y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

اضرب 3 في -2.

$$2x-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-2$$