حل {l}{5/4x+7/5y=63}{3/4x=3/3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 4 } x + \frac { 7 } { 5 } y = 63 } \\ { \frac { 3 } { 4 } x = \frac { 3 } { 3 } y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{630}{23} = 27\frac{9}{23} \approx 27.391304348$$

$$y = \frac{945}{46} = 20\frac{25}{46} \approx 20.543478261$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اقسم 3 على 3 لتحصل على 1.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

اطرح 1y من الطرفين.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63$$

اطرح \frac{7y}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{4}x=-\frac{7}{5}y+63$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{7}{5}y+63\right)$$

اضرب \frac{4}{5} في -\frac{7y}{5}+63.

$$x=-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{28y}{25}+\frac{252}{5} في المعادلة الأخرى، \frac{3}{4}x-y=0.

$$\frac{3}{4}\left(-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}\right)-y=0$$

اضرب \frac{3}{4} في -\frac{28y}{25}+\frac{252}{5}.

$$-\frac{21}{25}y+\frac{189}{5}-y=0$$

اجمع -\frac{21y}{25} مع -y.

$$-\frac{46}{25}y+\frac{189}{5}=0$$

اطرح \frac{189}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{46}{25}y=-\frac{189}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{46}{25}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{945}{46}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{945}{46} في x=-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{28}{25}\times \frac{945}{46}+\frac{252}{5}$$

اضرب -\frac{28}{25} في \frac{945}{46} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{2646}{115}+\frac{252}{5}$$

اجمع \frac{252}{5} مع -\frac{2646}{115} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{630}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اقسم 3 على 3 لتحصل على 1.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

اطرح 1y من الطرفين.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}&-\frac{\frac{7}{5}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}\\-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}&\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{23}&\frac{14}{23}\\\frac{15}{46}&-\frac{25}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{23}\times 63\\\frac{15}{46}\times 63\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{630}{23}\\\frac{945}{46}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اقسم 3 على 3 لتحصل على 1.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

اطرح 1y من الطرفين.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

لجعل \frac{5x}{4} و\frac{3x}{4} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{3}{4} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{5}{4}.

$$\frac{3}{4}\times \frac{5}{4}x+\frac{3}{4}\times \frac{7}{5}y=\frac{3}{4}\times 63,\frac{5}{4}\times \frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\left(-1\right)y=0$$

تبسيط.

$$\frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y=\frac{189}{4},\frac{15}{16}x-\frac{5}{4}y=0$$

اطرح \frac{15}{16}x-\frac{5}{4}y=0 من \frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y=\frac{189}{4} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{15}{16}x-\frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y+\frac{5}{4}y=\frac{189}{4}$$

اجمع \frac{15x}{16} مع -\frac{15x}{16}. حذف الحدين \frac{15x}{16} و-\frac{15x}{16}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{21}{20}y+\frac{5}{4}y=\frac{189}{4}$$

اجمع \frac{21y}{20} مع \frac{5y}{4}.

$$\frac{23}{10}y=\frac{189}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{23}{10}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{945}{46}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{945}{46} في \frac{3}{4}x-y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{3}{4}x-\frac{945}{46}=0$$

أضف \frac{945}{46} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{4}x=\frac{945}{46}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{630}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$