حل {l}{1/7x+5/7y=1}{5/6x+1/4y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 7 } x + \frac { 5 } { 7 } y = 1 } \\ { \frac { 5 } { 6 } x + \frac { 1 } { 4 } y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1$$

اطرح \frac{5y}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{7}x=-\frac{5}{7}y+1$$

ضرب طرفي المعادلة في 7.

$$x=7\left(-\frac{5}{7}y+1\right)$$

اضرب 7 في -\frac{5y}{7}+1.

$$x=-5y+7$$

عوّض عن x بالقيمة -5y+7 في المعادلة الأخرى، \frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2.

$$\frac{5}{6}\left(-5y+7\right)+\frac{1}{4}y=-2$$

اضرب \frac{5}{6} في -5y+7.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{35}{6}+\frac{1}{4}y=-2$$

اجمع -\frac{25y}{6} مع \frac{y}{4}.

$$-\frac{47}{12}y+\frac{35}{6}=-2$$

اطرح \frac{35}{6} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{47}{12}y=-\frac{47}{6}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{47}{12}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-5y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\times 2+7$$

اضرب -5 في 2.

$$x=-10+7$$

اجمع 7 مع -10.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}&-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}\\-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}&\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{47}&\frac{60}{47}\\\frac{70}{47}&-\frac{12}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{47}+\frac{60}{47}\left(-2\right)\\\frac{70}{47}-\frac{12}{47}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

لجعل \frac{x}{7} و\frac{5x}{6} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{5}{6} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{7}.

$$\frac{5}{6}\times \frac{1}{7}x+\frac{5}{6}\times \frac{5}{7}y=\frac{5}{6},\frac{1}{7}\times \frac{5}{6}x+\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{7}\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$\frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y=\frac{5}{6},\frac{5}{42}x+\frac{1}{28}y=-\frac{2}{7}$$

اطرح \frac{5}{42}x+\frac{1}{28}y=-\frac{2}{7} من \frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y=\frac{5}{6} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{5}{42}x-\frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y-\frac{1}{28}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

اجمع \frac{5x}{42} مع -\frac{5x}{42}. حذف الحدين \frac{5x}{42} و-\frac{5x}{42}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{25}{42}y-\frac{1}{28}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

اجمع \frac{25y}{42} مع -\frac{y}{28}.

$$\frac{47}{84}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

اجمع \frac{5}{6} مع \frac{2}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{47}{84}y=\frac{47}{42}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{47}{84}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في \frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}\times 2=-2$$

اضرب \frac{1}{4} في 2.

$$\frac{5}{6}x+\frac{1}{2}=-2$$

اطرح \frac{1}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{6}x=-\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{6}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=2$$