حل {c}{x-2y=9}{3x+4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 2 y = 9 } \\ { 3 x + 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=9$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y+9$$

عوّض عن x بالقيمة 2y+9 في المعادلة الأخرى، 3x+4y=7.

$$3\left(2y+9\right)+4y=7$$

اضرب 3 في 2y+9.

$$6y+27+4y=7$$

اجمع 6y مع 4y.

$$10y+27=7$$

اطرح 27 من طرفي المعادلة.

$$10y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=2y+9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-2\right)+9$$

اضرب 2 في -2.

$$x=-4+9$$

اجمع 9 مع -4.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{3}{10}\times 9+\frac{1}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 9,3x+4y=7$$

تبسيط.

$$3x-6y=27,3x+4y=7$$

اطرح 3x+4y=7 من 3x-6y=27 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-6y-4y=27-7$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y-4y=27-7$$

اجمع -6y مع -4y.

$$-10y=27-7$$

اجمع 27 مع -7.

$$-10y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 3x+4y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\left(-2\right)=7$$

اضرب 4 في -2.

$$3x-8=7$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-2$$