حل {c}{2x+5y=8}{x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 8 } \\ { x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{39}{11} = 3\frac{6}{11} \approx 3.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=8$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+8.

$$x=-\frac{5}{2}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{2}+4 في المعادلة الأخرى، x-3y=3.

$$-\frac{5}{2}y+4-3y=3$$

اجمع -\frac{5y}{2} مع -3y.

$$-\frac{11}{2}y+4=3$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{2}y=-1$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{2}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{11} في x=-\frac{5}{2}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{11}+4$$

اضرب -\frac{5}{2} في \frac{2}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5}{11}+4$$

اجمع 4 مع -\frac{5}{11}.

$$x=\frac{39}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-5}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 8+\frac{5}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+5y=8,2x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

تبسيط.

$$2x+5y=8,2x-6y=6$$

اطرح 2x-6y=6 من 2x+5y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+5y+6y=8-6$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+6y=8-6$$

اجمع 5y مع 6y.

$$11y=8-6$$

اجمع 8 مع -6.

$$11y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=\frac{2}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{11} في x-3y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\times \frac{2}{11}=3$$

اضرب -3 في \frac{2}{11}.

$$x-\frac{6}{11}=3$$

أضف \frac{6}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{39}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$