حل ∫ (4x)(x^2+5)^3 wrt x

$$\int ( 4 x ) ( x ^ { 2 } + 5 ) ^ { 3 } d x$$

تقييم

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+250x^{2}+С$$

خطوات الحل

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} لتوسيع \left(x^{2}+5\right)^{3}.

$$\int 4x\left(\left(x^{2}\right)^{3}+15\left(x^{2}\right)^{2}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 2 في 3 للحصول على 6.

$$\int 4x\left(x^{6}+15\left(x^{2}\right)^{2}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 2 في 2 للحصول على 4.

$$\int 4x\left(x^{6}+15x^{4}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4x في x^{6}+15x^{4}+75x^{2}+125.

$$\int 4x^{7}+60x^{5}+300x^{3}+500x\mathrm{d}x$$

تكامل مجموعة القيم مع القيم.

$$\int 4x^{7}\mathrm{d}x+\int 60x^{5}\mathrm{d}x+\int 300x^{3}\mathrm{d}x+\int 500x\mathrm{d}x$$

تحليل الثابت في كل القيم.

$$4\int x^{7}\mathrm{d}x+60\int x^{5}\mathrm{d}x+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{7}\mathrm{d}x مع \frac{x^{8}}{8}. اضرب 4 في \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{8}}{2}+60\int x^{5}\mathrm{d}x+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{5}\mathrm{d}x مع \frac{x^{6}}{6}. اضرب 60 في \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{3}\mathrm{d}x مع \frac{x^{4}}{4}. اضرب 300 في \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+500\int x\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x\mathrm{d}x مع \frac{x^{2}}{2}. اضرب 500 في \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+250x^{2}$$

إذا كانت F\left(x\right) الخاصة ب f\left(x\right) ، سيتم F\left(x\right)+C مجموعه الأنتيديريفاتيفيس الخاصة بالf\left(x\right). لذلك ، أضف ثابت C\in \mathrm{R} تكامل إلى النتيجة.

$$250x^{2}+75x^{4}+10x^{6}+\frac{x^{8}}{2}+С$$

تفاضل w.r.t. x

$$4x\left(x^{2}+5\right)^{3}$$