حل frac{sqrt{3}}{2}sqrt{1-x^2}+1/2x=13/10

$$\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } x = \frac { 13 } { 10 }$$

حل مسائل x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i+13}{20}\approx 0.65-0.719374728i$$

خطوات الحل

اطرح \frac{1}{2}x من طرفي المعادلة.

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-x^{2}}=\frac{13}{10}-\frac{1}{2}x$$

ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 2,10.

$$5\sqrt{3}\sqrt{1-x^{2}}=13-5x$$

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(5\sqrt{3}\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}=\left(13-5x\right)^{2}$$

توسيع \left(5\sqrt{3}\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}.

$$5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}=\left(13-5x\right)^{2}$$

احسب 5 بالأس 2 لتحصل على 25.

$$25\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}=\left(13-5x\right)^{2}$$

إيجاد مربع \sqrt{3} هو 3.

$$25\times 3\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}=\left(13-5x\right)^{2}$$

اضرب 25 في 3 لتحصل على 75.

$$75\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}=\left(13-5x\right)^{2}$$

احسب \sqrt{1-x^{2}} بالأس 2 لتحصل على 1-x^{2}.

$$75\left(1-x^{2}\right)=\left(13-5x\right)^{2}$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 75 في 1-x^{2}.

$$75-75x^{2}=\left(13-5x\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(13-5x\right)^{2}.

$$75-75x^{2}=169-130x+25x^{2}$$

اطرح 169 من الطرفين.

$$75-75x^{2}-169=-130x+25x^{2}$$

اطرح 169 من 75 لتحصل على -94.

$$-94-75x^{2}=-130x+25x^{2}$$

إضافة 130x لكلا الجانبين.

$$-94-75x^{2}+130x=25x^{2}$$

اطرح 25x^{2} من الطرفين.

$$-94-75x^{2}+130x-25x^{2}=0$$

اجمع -75x^{2} مع -25x^{2} لتحصل على -100x^{2}.

$$-94-100x^{2}+130x=0$$

يمكن حل كل المعادلات بالصيغة ax^{2}+bx+c=0 باستخدام الصيغة التربيعية: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. وتقدم الصيغة التربيعية حلين، أحدهما عندما يكون ± جمعاً والآخر عندما يكون طرحاً.

$$-100x^{2}+130x-94=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة -100 وعن b بالقيمة 130 وعن c بالقيمة -94 في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-130±\sqrt{130^{2}-4\left(-100\right)\left(-94\right)}}{2\left(-100\right)}$$

مربع 130.

$$x=\frac{-130±\sqrt{16900-4\left(-100\right)\left(-94\right)}}{2\left(-100\right)}$$

اضرب -4 في -100.

$$x=\frac{-130±\sqrt{16900+400\left(-94\right)}}{2\left(-100\right)}$$

اضرب 400 في -94.

$$x=\frac{-130±\sqrt{16900-37600}}{2\left(-100\right)}$$

اجمع 16900 مع -37600.

$$x=\frac{-130±\sqrt{-20700}}{2\left(-100\right)}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد -20700.

$$x=\frac{-130±30\sqrt{23}i}{2\left(-100\right)}$$

اضرب 2 في -100.

$$x=\frac{-130±30\sqrt{23}i}{-200}$$

حل المعادلة x=\frac{-130±30\sqrt{23}i}{-200} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع -130 مع 30i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-130+30\sqrt{23}i}{-200}$$

اقسم -130+30i\sqrt{23} على -200.

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i+13}{20}$$

حل المعادلة x=\frac{-130±30\sqrt{23}i}{-200} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 30i\sqrt{23} من -130.

$$x=\frac{-30\sqrt{23}i-130}{-200}$$

اقسم -130-30i\sqrt{23} على -200.

$$x=\frac{13+3\sqrt{23}i}{20}$$

تم حل المعادلة الآن.

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i+13}{20} x=\frac{13+3\sqrt{23}i}{20}$$

استبدال \frac{-3\sqrt{23}i+13}{20} بـ x في المعادلة \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2}x=\frac{13}{10}.

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-\left(\frac{-3\sqrt{23}i+13}{20}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\times \frac{-3\sqrt{23}i+13}{20}=\frac{13}{10}$$

تبسيط. تفي القيمة x=\frac{-3\sqrt{23}i+13}{20} بالمعادلة.

$$\frac{13}{10}=\frac{13}{10}$$

استبدال \frac{13+3\sqrt{23}i}{20} بـ x في المعادلة \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2}x=\frac{13}{10}.

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-\left(\frac{13+3\sqrt{23}i}{20}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\times \frac{13+3\sqrt{23}i}{20}=\frac{13}{10}$$

تبسيط. لا تفي القيمة x=\frac{13+3\sqrt{23}i}{20} بالمعادلة.

$$-\frac{13}{20}+\frac{3}{20}i\times 23^{\frac{1}{2}}=\frac{13}{10}$$

للمعادلة 5\sqrt{3}\sqrt{1-x^{2}}=13-5x حل فريد.

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i+13}{20}$$